Утверждена

Госстандартом СССР

РЕКОМЕНДАЦИЯ

ГСИ. ИЗМЕРЕНИЯ КОСВЕННЫЕ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

И ОЦЕНИВАНИЕ ИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ

МИ 2083-90

Настоящая Рекомендация распространяется на нормативную документацию, содержащую методики выполнения косвенных измерений, и устанавливает основные положения определения результатов измерений и оценивание их погрешностей при условии, что аргументы, от которых зависит измеряемая величина, принимаются за постоянные величины; известные систематические погрешности результатов измерений аргументов исключены, а неисключенные систематические погрешности распределены равномерно внутри заданных границ +/- ТЭТА.

Термины и определения, используемые в настоящей Рекомендации, приведены в Приложении.

1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

    1.1.  Искомое  значение  величины  А  находят  на основании результатов

измерений   аргументов   а ,  а , ..., а , связанных  с  искомой  величиной

                          1    2        m

уравнением:

                          А = f(а , а , ..., а ).                       (1)

                                 1   2        m

Функция f должна быть известна из теоретических предпосылок или установлена экспериментально с погрешностью, которой можно пренебречь.

1.2. Результаты измерений аргументов и оценки их погрешностей могут быть получены из прямых, косвенных, совокупных, совместных измерений. Сведения об аргументах могут быть взяты из справочной литературы и технической документации.

1.3. При оценивании доверительных границ погрешностей результата косвенных измерений обычно принимают вероятность, равную 0,95 или 0,99. Использование других вероятностей должно быть обосновано.

1.4. Основные положения Рекомендации устанавливаются для оценивания косвенно измеряемой величины и погрешностей результата измерений:

при линейной зависимости и отсутствии корреляции между погрешностями измерений аргументов (разд. 2);

при нелинейной зависимости и отсутствии корреляции между погрешностями измерений аргументов (разд. 3);

для коррелированных погрешностей измерений аргументов при наличии рядов отдельных значений измеряемых аргументов (разд. 4).

2. КОСВЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ ПРИ ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ

    2.1. Искомое  значение  А  связано  с m измеряемыми аргументами а , а ,

                                                                     1   2

..., а  уравнением:

      m

                 А = b  х а  + b  х а  + ... + b  х а ,                 (2)

                      1    1    2    2          m    m

    где b , b , ..., b  -  постоянные  коэффициенты при аргументах  а , а ,

         1   2        m                                              1   2

..., а  соответственно.

      m

    Корреляция между погрешностями измерений аргументов отсутствует.

    Примечание.    Если    коэффициенты    b ,   b , ...,   b    определяют

                                            1     2          m

экспериментально,  то  задача  определения  результата  измерения  величины

решается  поэтапно: сначала оценивают каждое слагаемое b  х а  как косвенно

                                                        i    i

измеряемую  величину,  полученную в результате произведения двух измеряемых

величин, а потом находят оценку измеряемой величины А.

    2.2. Результат косвенных измерений А вычисляют по формуле:

                             ~    m       ~

                             А = SUM b  х а ,                           (3)

                                 i=1  i    i

    где:

    ~

    а  - результат измерений аргумента а ;

     i                                  i

    m - число аргументов.

    2.3.  Среднее  квадратическое отклонение результата косвенных измерений

  ~

S(А) вычисляют по формуле:

                                  ______________

                          ~      /m   2    2 ~

                        S(А) = \/SUM b  х S (а ),                       (4)

                                 i=1  i       i

           ~

    где  S(а)  -  среднее  квадратическое отклонение  результата  измерений

аргумента а .

           i

    2.4.  Доверительные  границы случайной погрешности результата косвенных

измерений при условии, что распределения погрешностей результатов измерений

аргументов  не противоречат нормальным распределениям, вычисляют (без учета

знака) по формуле:

                                             ~

                         эпсилон(Р) = t  х S(А),                        (5)

                                       q

    где   t    -   коэффициент   Стьюдента,  соответствующий  доверительной

           q

вероятности  Р  =  1  -  q  и  числу  степеней свободы f  , вычисляемому по

                                                        эф

формуле:

                                                4    4 ~

                                               b  х S (а )

                     m      2 ~   2         m   i       i

                   (SUM b  S (а ))  - 2 х (SUM -----------)

                    i=1  1     i           i=1   (n  + 1)

                                                   i

             f   = ----------------------------------------,            (6)

              эф                    4    4 ~

                                   b  х S (а )

                                m   i       i

                               SUM -----------

                               i=1  (n  + 1)

                                      i

    где m - число измерений при определении аргумента а .

                                                       i

    2.5.   Границы  неисключенной  систематической  погрешности  результата

косвенных измерений вычисляют следующим образом.

    2.5.1.   Если  неисключенные  систематические  погрешности  результатов

измерений  аргументов  заданы  границами  ТЭТА ,  то  доверительные границы

                                              i

неисключенной  систематической  погрешности  результата косвенных измерений

ТЭТА(р) (без учета знака) при вероятности Р вычисляют по формуле:

                                      _____________

                                     /m   2       2

                     ТЭТА(Р) = k х \/SUM b  х ТЭТА ,                    (7)

                                     i=1  i       i

    где  k  -  поправочный коэффициент, определяемый принятой доверительной

вероятностью числом m составляющих ТЭТА .

                                       i

При доверительной вероятности Р = 0,95 поправочный коэффициент k принимают равным 1,1.

При доверительной вероятности Р = 0,99 поправочный коэффициент принимают равным 1,4, если число суммируемых составляющих m > 4. Если же число составляющих m <= 4, то поправочный коэффициент k <= 1,4; более точное значение k можно найти с помощью графика зависимости k = k(l, m), где m - число суммируемых составляющих (аргументов); l - параметр, зависящий от соотношения границ составляющих.

На графике (не приводится) кривая 1 дает зависимость k от l при m = 2, кривая 2 - при m = 3, кривая 3 - при m = 4.

    Для  нахождения  k  границы составляющих b  ТЭТА  располагают в порядке

                                              i     i

возрастания:  b  ТЭТА  <= b  ТЭТА  <= b  ТЭТА  <= b  ТЭТА     и   вычисляют

               1     1     2     2     3     3     4     4

отношения  границ:  l  = b  ТЭТА  / b  ТЭТА , l  = b  ТЭТА  / b    ТЭТА   .

                     1    2     2    1     1   2    m     m    m-1     m-1

Затем по графику определяют значения k  = (l , m) и k  = (l , m) в качестве

                                      1     1        2     2

поправочного коэффициента принимают наибольшее из k  и k .

                                                   1    2

    Погрешность, возникающая при использовании формулы (7) для суммирования

неисключенных   систематических  погрешностей,  не  превышает  5%  (расчеты

получены    на    основе   анализа   результатов   композиций   равномерных

распределений).

    2.5.2.   Если   границы   неисключенных   систематических  погрешностей

результатов   измерений   аргументов   заданы   доверительными   границами,

соответствующими  вероятностям Р , то границы неисключенной систематической

                                1

погрешности результата косвенных измерений для вероятности Р вычисляют (без

учета знака) по формуле:

                                      ______________

                                     /          2

                                    /       ТЭТА (Р)

                                   /m   2       i

                   ТЭТА(Р) = k х \/SUM b  х --------.                   (8)

                                   i=1  i       2

                                               k

                                                i

    Для  вероятности Р = 0,95 k  = 1,1; для Р = 0,99 значения коэффициентов

                               i

k  определяют в соответствии с п. 2.5.1.

 i

    2.6.  Погрешность  результата  косвенных  измерений оценивают на основе

композиции   распределений   случайных   и   неисключенных  систематических

погрешностей.

                             ~

    2.6.1.  Если ТЭТА(Р) / S(А) > 8, то за погрешность результата косвенных

измерений  принимают неисключенную систематическую составляющую погрешности

измерений и ее границы вычисляют в соответствии с п. 2.5.

                            ~

    2.6.2. Если ТЭТА(Р) / S(А) < 0,8, за погрешность  результата  косвенных

измерений принимают  случайную  составляющую  погрешности  измерений  и  ее

границы вычисляют в соответствии с п. 2.4.

                                     ~

    2.6.3.  Если  0,8 <= ТЭТА(Р) / S(А) <= 8,   то  доверительную   границу

погрешности  результата  косвенных измерений ДЕЛЬТА(Р) вычисляют (без учета

знака) по формуле:

                   ДЕЛЬТА(Р) = K[эпсилон(Р) + ТЭТА(Р)],                 (9)

    где  K  -  коэффициент,  зависящий  от  доверительной  вероятности и от

                      ~

отношения ТЭТА(Р) / S(А).

                                                                     ~

    Значения  коэффициента  K в зависимости от отношения ТЭТА(Р) / S(А) для

вероятности Р = 0,95 и Р = 0,99:

┌────────────────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┐

│             ~  │    │    │    │    │    │    │    │    │    │    │

│ ТЭТА(Р) / S(А) │0,5 │0,75│ 1  │ 2  │ 3  │ 4  │ 5  │ 6  │ 7  │ 8  │

├────────────────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┤

│K (для Р = 0,95)│0,81│0,77│0,74│0,71│0,73│0,76│0,78│0,79│0,80│0,81│

│K (для Р = 0,99)│0,87│0,85│0,82│0,80│0,81│0,82│0,83│0,83│0,84│0,85│

└────────────────┴────┴────┴────┴────┴────┴────┴────┴────┴────┴────┘

Примечание. Погрешность, возникающая при использовании формулы (9) для суммирования случайных и неисключенных систематических погрешностей, не превышает 12%.

3. КОСВЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ ПРИ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ

3.1. Для косвенных измерений при нелинейных зависимостях и некоррелированных погрешностях измерений аргументов используют метод линеаризации.

3.2. Метод линеаризации предполагает разложение нелинейной функции в ряд Тейлора:

                           ~        ~      m  df

        f(а , ..., а ) = f(а , ..., а ) + SUM --- ДЕЛЬТА а  + R,       (10)

            1       m       1        m    i=1 dа          i

                                                i

    где:

    f(а , ..., а )  - нелинейная   функциональная   зависимость  измеряемой

       1        m

         ~

величины А измеряемых аргументов а ;

                                  i

    df / dа  - первая производная от функции f по аргументу а , вычисленная

           i                                                 i

          ~        ~

в точке f(а , ..., а );

           1        m

    ДЕЛЬТА  а   -  отклонение  результата  измерения  аргумента  а  от  его

             i                                                    i

среднего арифметического;

    R - остаточный член.

    Примечание.  Метод  линеаризации  допустим,   если   можно   пренебречь

остаточным членом R.

                                              2

                                  1   m      d f

    3.3.  Остаточным  членом  R = -  SUM  --------- (ДЕЛЬТА а  х ДЕЛЬТА а )

                                  2 i,j=1 dа  х dа           i           j

                                            i     j

                                         i не равно j

пренебрегают, если:

                              __________________

                             /m   df  2    2 ~

                   R < 0,8 \/SUM (---)  х S (а ),                      (11)

                             i=1  da          i

                                    i

           ~

    где  S(а )  -  среднее квадратическое отклонение случайных погрешностей

            i

результата измерений а -го аргумента.

                      i

    Отклонения  ДЕЛЬТА а  при этом должны быть взяты из полученных значений

                        i

погрешностей  такими,  чтобы  они максимизировали выражение для остаточного

члена R.

                             ~

    3.4. Результат измерений А вычисляют по формуле:

                           ~     ~        ~

                           А = f(а , ..., а ).                         (12)

                                  1        m

    3.5. Среднее квадратическое отклонение случайной погрешности результата

                      ~

косвенных измерений S(А) вычисляют по формуле:

                               __________________

                       ~      /m   df  2    2 ~

                     S(А) = \/SUM (---)  х S (а ).                     (13)

                              i=1  dа          i

                                     i

    3.6.  Доверительные  границы случайной погрешности результата косвенных

измерений при условии, что распределения погрешностей результатов измерений

аргументов   не   противоречат   нормальным   распределениям,  вычисляют  в

соответствии  с  п.  2.3,  подставляя  вместо коэффициентов b , b , ..., b

                                                             1   2        m

первые производные df / dа , df / dа , ..., df / dа  соответственно.

                          1         2              m

    3.7.   Границы  неисключенной  систематической  погрешности  результата

косвенных  измерений  вычисляют  в соответствии с п. 2.5, подставляя вместо

коэффициентов b , b , ..., b  первые  производные  df / dа , df / dа , ...,

               1   2        m                             1         2

df / dа  соответственно.

       m

3.8. Погрешность результата косвенных измерений оценивают в соответствии с п. 2.6.

4. МЕТОД ПРИВЕДЕНИЯ

4.1. При наличии корреляции между погрешностями измерений аргументов для определения результатов косвенных измерений и его погрешности используют метод приведения, который предполагает наличие ряда отдельных значений измеряемых аргументов, полученных в результате многократных измерений. Этот метод можно также применять при неизвестных распределениях погрешностей измерений аргументов.

    4.2.  Метод  основан  на  приведении  ряда  отдельных значений косвенно

измеряемой величины к ряду прямых измерений. Получаемые сочетания отдельных

результатов  измерений  аргументов  подставляют  в  формулу (1) и вычисляют

отдельные значения измеряемой величины А: А , ..., А , ..., А .

                                           1        j        L

                                       ~

    4.3. Результат косвенных измерений А вычисляют по формуле:

                                        А

                                ~    L   j

                                А = SUM --,                            (14)

                                    j=1 L

    где:

    L - число отдельных значений измеряемой величины;

    A    -   j-е  отдельное  значение  измеряемой  величины,  полученное  в

     j

результате  подстановки  j-го сочетания согласованных результатов измерений

аргументов в формулу (1).

    4.4.   Среднее   квадратическое   отклонение   случайных   погрешностей

результата косвенных изменений вычисляют по формуле:

                                     __________

                                    /       ~ 2

                                   /  (А  - А)

                           ~      /L    j

                         S(А) = \/SUM ---------.                       (15)

                                  j=1 L (L - 1)

    4.5.   Доверительные   границы  случайной  погрешности  для  результата

измерений вычисляют по формуле:

                                           ~

                            ДЕЛЬТА = Т х S(А),

где Т - коэффициент, зависящий от вида распределения отдельных значений измеряемой величины А, выбранной доверительной вероятности.

При нормальном распределении отдельных значений измеряемой величины доверительные границы случайных погрешностей вычисляют в соответствии с ГОСТ 8.207.

4.6. Границы неисключенной систематической погрешности результата косвенных измерений при линейной зависимости вычисляют в соответствии с п. 2.5, при нелинейной зависимости - в соответствии с п. 3.7.

4.7. Доверительные границы погрешности результата косвенного измерения вычисляют в соответствии с п. 2.6.

5. ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТА ИЗМЕРЕНИЙ

5.1. Формы представления результата измерений должны соответствовать МИ 1317.

5.2. Если предполагают исследование и сопоставление результатов измерений или анализ погрешностей, то результат измерений и его погрешность представляют в виде:

                           ~    ~

                           А, S(А), n, ТЭТА(Р),

где n - число измерений того аргумента, при измерениях которого выполнено минимальное число измерений.

5.3. Если границы погрешности результата измерений симметричны, то результат измерений и его погрешность представляют в виде:

                             ~

                             А +/- ДЕЛЬТА(Р).

Приложение

ТЕРМИНЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В РЕКОМЕНДАЦИИ

Метод линеаризации - нахождение результата измерений и оценивание его погрешностей, основанные на соотношении значения А и правой части формулы (10).

Метод приведения (приведение результатов косвенных измерений к ряду прямых измерений) - получение ряда отдельных значений измеряемой величины путем подстановки отдельных значений аргументов в формулу, выражающую зависимость косвенно измеряемой величины от аргументов.